Les travaux de Johan Taflin publiés aux Publications mathématiques de l’IHES
L’ensemble de Mandelbrot M est l’emblème des bifurcations en dynamique holomorphe. Son bord bM correspond exactement aux nombres complexes c pour lesquels la dynamique de l’application f_c(z) = z^2 + c change radicalement sous l’effet de perturbations arbitrairement petites du paramètre c.
L’étude de M est particulièrement délicate. Cependant, certains paramètres dits post-critiquement finis (PCF) sont denses dans le bord bM et fournissent des informations précieuses, à la fois combinatoires, géométriques et dynamiques.
Ces applications PCF, pour lesquelles les orbites des points critiques sont finies, jouent un rôle central dans l’étude de l’espace des modules des applications rationnelles f : CP^1 -> CP^1. En particulier, elles y sont Zariski denses.
En dimension supérieure, pour les endomorphismes de l’espace projectif complexe CP^k, on connaît différentes familles d’exemples PCF. Néanmoins, tout porte à croire que ces applications y sont bien plus rares. Ingram, Ramadas et Silverman ont ainsi conjecturé qu’elles ne sont pas Zariski denses dans l’espace des modules, autrement dit qu’elles sont toutes contenues dans une sous-variété propre.
Dans ce travail, Gauthier, Taflin et Vigny démontrent cette conjecture en tout degré et en toute dimension supérieure ou égale à 2. Leur approche combine géométrie arithmétique, géométrie complexe et dynamique réelle. Le point de départ arithmétique repose sur le fait que les applications PCF sont de « hauteur nulle », ce qui permet d’en décrire la répartition à l’aide de théorèmes d’équidistribution issus de la théorie d’Arakelov. L’analyse fine de la mesure limite mobilise ensuite des outils de théorie du pluripotentiel, ainsi que l’utilisation de blenders en dynamique réelle – dont l’un des principaux initiateurs, Christian Bonatti, est également membre de l’IMB – afin d’exclure la Zariski-densité.
Enfin, les auteurs établissent aussi une borne uniforme pour un problème de type Manin-Mumford, dans l’esprit des résultats récents de Dimitrov, Gao et Habegger pour les variétés abéliennes.
Ce travail est publié dans Les Publications mathématiques de l’IHES, qui a accompagné depuis sa création en 1959 de nombreux développements majeurs en mathématiques et qui est aujourd’hui diffusée en diamond open access. Johan Taflin est maître de conférences HDR à l’Institut de Mathématiques de Bourgogne depuis 2012. Il porte le projet ANR DynAtrois, consacré à l’étude des espaces de modules dynamiques, en lien direct avec les résultats développés dans ce travail.
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L'ensemble de Mandelbrot M est l'emblème des bifurcations en dynamique holomorphe. Son bord bM correspond exactement aux nombres complexes c pour lesquels la dynamique de l'application f_c(z) = z^2 + c change radicalement sous l'effet de perturbations arbitrairement petites du paramètre c.
L'étude de M est particulièrement délicate. Cependant, certains paramètres dits post-critiquement finis (PCF) sont denses dans le bord bM et fournissent des informations précieuses, à la fois combinatoires, géométriques et dynamiques.
Ces applications PCF, pour lesquelles les orbites des points critiques sont finies, jouent un rôle central dans l'étude de l'espace des modules des applications rationnelles f : CP^1 -> CP^1. En particulier, elles y sont Zariski denses.
En dimension supérieure, pour les endomorphismes de l'espace projectif complexe CP^k, on connaît différentes familles d'exemples PCF. Néanmoins, tout porte à croire que ces applications y sont bien plus rares. Ingram, Ramadas et Silverman ont ainsi conjecturé qu'elles ne sont pas Zariski denses dans l'espace des modules, autrement dit qu'elles sont toutes contenues dans une sous-variété propre.
Dans ce travail, Gauthier, Taflin et Vigny démontrent cette conjecture en tout degré et en toute dimension supérieure ou égale à 2. Leur approche combine géométrie arithmétique, géométrie complexe et dynamique réelle. Le point de départ arithmétique repose sur le fait que les applications PCF sont de "hauteur nulle", ce qui permet d'en décrire la répartition à l'aide de théorèmes d'équidistribution issus de la théorie d'Arakelov. L'analyse fine de la mesure limite mobilise ensuite des outils de théorie du pluripotentiel, ainsi que l'utilisation de blenders en dynamique réelle - dont l'un des principaux initiateurs, Christian Bonatti, est également membre de l'IMB - afin d'exclure la Zariski-densité.
Enfin, les auteurs établissent aussi une borne uniforme pour un problème de type Manin-Mumford, dans l'esprit des résultats récents de Dimitrov, Gao et Habegger pour les variétés abéliennes.
Ce travail est publié dans Les Publications mathématiques de l’IHES, qui a accompagné depuis sa création en 1959 de nombreux développements majeurs en mathématiques et qui est aujourd’hui diffusée en diamond open access. Johan Taflin est maître de conférences HDR à l’Institut de Mathématiques de Bourgogne depuis 2012. Il porte le projet ANR DynAtrois, consacré à l’étude des espaces de modules dynamiques, en lien direct avec les résultats développés dans ce travail.
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