Orateur : Michel Semenov-Tian-Shansky (IMB, Université Bourgogne Europe)

Résumé

L'analyse harmonique sur les groupes de Lie  semi-simples non compacts nous amène à  étudier les fonctions spéciales telles les fonctions sphériques, les fonctions de Whittaker  et leurs généralisations. La théorie de Plancherel pour les espaces homogènes des  groupes de Lie semi-simples  amène  aux problèmes avec le spectre continu,  donc aux problèmes de diffusion quantique. Depuis les années 50,  on sait que les matrices de diffusion dans ces cas sont  effectivement réduites aux  produits des fonctions d'une seule variable. La fameuse formule de  Gindykin-Karpelevitch exprime ces matrices de diffusion en termes de fonctions Gamma.  Donc le comportement asymptotique des fonctions sphériques ou des fonctions de Whittaker  est décrite par des formules simples et explicites.

Par contre, les fonctions sphériques ou les fonctions de Whittaker  elles-mêmes restent assez compliquées. Le nouveau développement de la théorie issue de la méthode quantique de diffusion  inverse suggère des nouvelles réalisations des représentations des groupes semi-simples telles que non seulement le  comportement asymptotique, mais les fonctions sphériques et les fonctions de Whittaker elles-mêmes se réduisent aux produits des fonctions d'une seule variable. 

Dans ces nouvells réalisations l'algèbre de Lie et son algèbre enveloppante  agissent par des opérateurs en differences finies (et pas par des opérateurs différentiels,  comme d'habitude). Ce nouveau type de réalisations des représentations des groupes  de Lie   est un défi majeur pour la théorie des représentations.

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