Résumé

Un quotient compact d'un espace simplement connexe, homogène sous l'action d'un groupe de Lie G, est dit satisfaire "la rigidité de Bieberbach" si l'action de son groupe fondamental s'étend en une action propre et cocompacte d'un sous-groupe de Lie connexe de G. Un résultat classique de Goldman, Fried et Kamishima montre que tout quotient compact de l'espace-temps plat de Minkowski (l'équivalent de l'espace Euclidien en signature lorentzienne) satisfait la rigidité de Bieberbach, généralisant ainsi le théorème de Bieberbach au cadre lorentzien. Cet exposé porte sur les plane waves localement homogènes compacts, qui peuvent être vus comme des déformations de variétés modelées sur l'espace-temps de Minkowski et, plus généralement, comme des déformations particulières de structures affines. Ces espaces jouent un rôle fondamental en mathématique et en relativité générale. Nous analyserons certaines questions classiques de géométrie affine, en particulier la rigidité de Bieberbach, dans le contexte des plane waves compacts. Nous examinerons ensuite leur structure conforme, et verrons que l'étude des quotients compacts conformes de plane waves homogènes permettra de démontrer la conjecture de Lichnerowicz lorentzienne dans un cadre localement homogène.

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