La dynamique quantique dans un cristal peut être modéliséepar un Hamiltonien discret sur l^2(Z), associé à un potentiel V: Z->Rpériodique. Dans ce cas, le spectre de l’Hamiltonien est absolumentcontinu, et les états quantiques se dispersent avec le temps. Un casbien plus subtil est celui des quasi-cristaux (comme l’alliageAluminium-Palladium-Manganèse, ou comme l’icosahédrite trouvée sur lamétéorite de Khatyrka), modélisés par un hamiltonien discret associécette fois a un potentiel quasi-périodique. Dans ce cas, le spectre duHamiltonien est typiquement un Cantor, et les mesures spectrales sontdonc bien plus difficiles a étudier.Dans certains cas, on dispose d’une interprétation dynamique duspectre. Par exemple, pour le modèle du « Hamiltonien de Fibonacci »(Fibonacci Hamiltonian), le spectre peut en fait être caractérisécomme l’ensemble des points qui dont l’orbite positive reste bornéesous l’action d’un certain système dynamique hyperbolique T : »l’application Trace de Fibonacci » (Fibonacci Trace map). L’étude dela dispersion des états quantiques dans ce quasi-cristal peut alorsêtre ramenée à l’étude de cette application Trace. Plus précisément,les propriétés de la transformée de Fourier de la mesure d’entropiemaximale de T (supportée sur un Cantor en dimension 2) vont êtrecruciales à étudier.L’objectif de cet exposé est d’expliquer les liens entre lesquasi-cristaux, la dynamique hyperbolique, et l’étude de latransformée de Fourier de mesures fractales. Il se base sur lepreprint: https://arxiv.org/abs/2507.23731 , dans lequel les méthodesde Tsujii-Zhang sur le mélange exponentiel des flots d’Anosov ont étéadaptées pour prouver de la dispersion dans le quasi-cristal <a href="http://deFibonacci.

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