Soit R un Z-ordre dans une Q-algèbre semi-simple, et soit X une variété sur un corps fini de caractéristique p. Je présenterai la construction d’une « machine Weil-étale pour les valeurs spéciales ». Cette machine prend en entrée un faisceau étale G sur X à valeurs dans la catégorie dérivée D(R) satisfaisant certaines conditions naturelles attendues d’un faisceau d’origine motivique. En sortie, on obtient une formule de valeur spéciale (à des puissances de p près) en T= 1 pour la fonction L R-linéaire de G (obtenue en prenant des déterminants R-linéaires dans les facteurs locaux), dans l’esprit de la conjecture non-commutative des nombres de Tamagawa (ncTNC) de <a href="http://Burns–Flach.
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Je décrirai ensuite deux applications. Dans un premier temps, on peut appliquer la machine à un faisceau constructible de R-modules pour obtenir une version géométrique de la ncTNC pour les motifs d’Artin; dans ce cas, on peut aussi obtenir la p-partie. Dans un second temps, je parlerai d’un travail en cours de rédaction : en appliquant la machine au modèle de Néron connexe d’un 1-motif défini sur un corps global de caractéristique p et sur lequel R agit par endomorphismes, on obtient la ncTNC pour les 1-motifs, conditionnellement à la finitude du groupe de Tate-Shafarevich de la partie abélienne et, dans le cas où R n’est pas commutatif, à l’indépendance de l de la définition de la fonction L. Les travaux de Geisser–Suzuki montrent qu’on obtient ainsi une généralisation des travaux de Schneider montrant la validité de la partie première à p dans la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer en caractéristique p sous la finitude du groupe de Tate-Shafarevich. Si le temps le permet, je parlerai d’une généralisation des résultats de Keller sur la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer pour les schémas abéliens définis sur des variétés lisses projectives sur un corps <a href="http://fini.

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