La théorie du chaos s’est développée à partir de la découverte de systèmes qui ont une évolution complexe, d'apparence totalement aléatoire, bien que régie par des équations déterministes très simples.  L'évolution de tels systèmes est souvent mieux décrite en utilisant des probabilités plutôt qu'en résolvant les équations qui les définissent.           

La plus simple de ces évolutions chaotiques est certainement la multiplication par 10 sur le cercle, qui est l’archétype d’une grande classe de systèmes chaotiques aujourd’hui bien compris : les systèmes hyperboliques. Mais il y a des chaos plus compliqués que d’autres, et les plus compliqués d’entre eux, dits « sauvages », ont un comportement qui se divise en une multitude (une infinité) de pièces qui évoluent de façon apparemment indépendante : on peut imaginer les multiples tourbillons, grands ou minuscules qui apparaissent et disparaissent à la surface d’un fleuve au passage d’une pile d’un pont. Parmi ces « pièces de dynamique », celles qu’on comprend plus ou moins sont celles contenant des orbites périodiques.  Qu’en est-il des autres, qui sont appelées « pièces apériodiques » ? Jusqu’à présent, on ne les comprenait pas, faute d’exemple : toutes celles qu’on connaissait avaient la même évolution. 

Avec son collègue japonais Katsutoshi Shinohara de Hitotsubashi Unversity, Christian Bonatti (*) montre que certains mécanismes simples font exploser la dynamique en une multitude de ces pièces apériodiques au comportement très variés, lesquels sont décrits précisément dans cet article.

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Voici une figure mathématique représentant le mécanisme engendrant une dynamique sauvage ayant de multiples pièces apériodiques :

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(*) Christian Bonatti est directeur de recherches au CNRS et membre de l’Institut de Mathématiques de Bourgogne (UMR 5584) à l’Université Bourgogne Europe. Il a reçu le prix Servan de l’Académie des Sciences en 2000, a été conférencier invité à l’ICM (International Congress of Mathematicians) en 2002 et à l’ECM (European Congress of Mathematics) en 2016. Au fil de sa carrière depuis 1986, il a publié plus de 140 articles  dans des revues internationales mathématiques,  dont  4 à Inventiones Mathematicae et 3 à Annals of Mathematics, qui comptent parmi les journaux les plus sélectifs en mathématiques.

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Bonatti, Christian;  Shinohara, Katsutoshi
Aperiodic chain recurrence classes of C1-generic diffeomorphisms.
Invent. Math. 238 (2024), no. 2, 637–689.