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Annette Dumas (Université Paris Dauphine) – Jeux à champ moyen déterministes avec sauts
Résumé
Le problème d'optimisation que nous allons étudier est motivé par la modélisation de la dynamique des habitants dans une ville où les agents déménagent d’un endroit à un autre. La stratégie d'un joueur est une courbe constante par morceaux choisie de telle façon à optimiser un coût dépendant du nombre de discontinuités, d’un terme dépendant de la densité de façon variationnelle, d’un terme dépendant de la densité de façon non-variationnelle et d’un coût en temps final.
Le problème considéré est un problème de jeux à champ moyen déterministes avec sauts dont nous définirons une fonction potentielle sous forme Lagrangienne. Grâce à un résultat de transport optimal, le problème peut s'écrire sous forme Eulérienne faisant apparaître la norme L^1 de la vitesse de la densité. Nous verrons que la solution de ce problème est Lipschitz en temps à valeurs dans L^2_x. Une des applications de cette régularité est l'existence d'un équilibre de Nash pour ce jeu à champ moyen.
Grâce à des algorithmes proximaux, nous pouvons effectuer des simulations numériques du problème écrit sous forme Eulérienne.