Résumé

La dynamique quantique dans un cristal peut être modélisée par un Hamiltonien discret sur l^2(Z), associé à un potentiel V: Z->R périodique. Dans ce cas, le spectre de l'Hamiltonien est absolument continu, et les états quantiques se dispersent avec le temps. Un cas bien plus subtil est celui des quasi-cristaux (comme l'alliage Aluminium-Palladium-Manganèse, ou comme l'icosahédrite trouvée sur la météorite de Khatyrka), modélisés par un hamiltonien discret associé cette fois a un potentiel quasi-périodique. Dans ce cas, le spectre du Hamiltonien est typiquement un Cantor, et les mesures spectrales sont donc bien plus difficiles à étudier.. Dans certains cas, on dispose d'une interprétation dynamique du spectre. Par exemple, pour le modèle du "Hamiltonien de Fibonacci" (Fibonacci Hamiltonian), le spectre peut en fait être caractérisé comme l'ensemble des points qui dont l'orbite positive reste bornée sous l'action d'un certain système dynamique hyperbolique T : "l'application Trace de Fibonacci" (Fibonacci Trace map). L'étude de la dispersion des états quantiques dans ce quasi-cristal peut alors être ramenée à l'étude de cette application Trace. Plus précisément, les propriétés de la transformée de Fourier de la mesure d'entropie maximale de T (supportée sur un Cantor en dimension 2) vont être cruciales à étudier.. L'objectif de cet exposé est d'expliquer les liens entre les quasi-cristaux, la dynamique hyperbolique, et l'étude de la transformée de Fourier de mesures fractales. Il se base sur le preprint: https://arxiv.org/abs/2507.23731 , dans lequel les méthodes de Tsujii-Zhang sur le mélange exponentiel des flots d'Anosov ont été adaptées pour prouver de la dispersion dans le quasi-cristal de Fibonacci..

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